Question

一條斜率為1的直線l與離心率e=

2

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）交于P、Q兩點，直線l與y軸交于點R，且

.

OP

•

.

OQ

=-3，

.

PR

=3

.

RQ

，求直線l和橢圓C的方程．

Answer 1

分析：由e=

2

2

，知

c

a

=

2

2

，a²=2b²，則橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，設(shè)l方程為：y=x+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立

x2 2b2 + y2 b2 =1 y=x+m

，得3x²+4mx+2m²-2b²=0，故有△=16m²-4×3（2m²-2b²）=8（-m²+3b²）＞0．由此入手能求出直線l方程和橢圓C的方程．

解答：解：∵e=

2

2

，∴

c

a

=

2

2

，a²=2b²，則橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
設(shè)l方程為：y=x+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立

x2 2b2 + y2 b2 =1 y=x+m

，去y得3x²+4mx+2m²-2b²=0，
故有△=16m²-4×3（2m²-2b²）=8（-m²+3b²）＞0
∴3b²＞m²（*）
x₁+x₂=-

4

3

m（1）
x₁x₂=

2

3

（m²-b²）（2）
又

OP

•

OQ

=-3得x₁x₂+y₁y₂=-3，
而y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²，
所以2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=-3，
故

4

3

（m²-b²）-

4

3

m²+m²=-3，∴3m²-4b²=-9（3）
又R（0，m），

PR

=3

RQ

，（-x₁，m-y₁）=3（x₂，y₂-m）
從而-x₁=3x₂（4）
由（1）（2）（4）得3m²=b²（5）
由（3）（5）解得b²=3，m=±1適合（*），
∴所求直線l方程為y=x+1或y=x-1；橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

3

=1．

點評：本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系的綜合運用，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．