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已知函數f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，且f(
x
y
)=f(x)-f(y)．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）=1，解不等式f(x+3)+f(
1
x
)≤2．
分析：（1）令x=y=1⇒f（1）=0；
（2）依題意，可求得f（
1
x
）=-f（x），于是f（x+3）-f（
1
x
）＜2?f（x+3）+f（x）＜2?f（x+3）-1＜1-f（x），利用已知f（6）=1與f（
x
y
）=f（x）-f（y），可得f（
x+3
6
）＜f（
6
x
），
最后由函數f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，即可求得原不等式的解集．
解答：解：（1）∵f（
x
y
）=f（x）-f（y），
∴令x=y=1得：f（1）=0；
（2）∵f（
1
x
）=f（1）-f（x）=-f（x），
∴原不等式f（x+3）-f（
1
x
）＜2?f（x+3）+f（x）＜2，
∴f（x+3）-1＜1-f（x），又f（6）=1，
∴f（x+3）-f（6）＜f（6）-f（x）
即f（
x+3
6
）＜f（
6
x
），
∵函數f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，
則0＜
x+3
6
＜
6
x
，
解得：0＜x＜
-3+3
17
2
．
∴原不等式的解集為{x|0＜x＜
-3+3
17
2
}．
點評：本題考查抽象函數及其應用，求得f（
1
x
）=-f（x）是關鍵，著重考查轉化思想與函數單調性的綜合應用，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
2x+2-x
2
，g（x）=
2x-2-x
2
，
（1）計算：[f（1）]2-[g（1）]2；
（2）證明：[f（x）]2-[g（x）]2是定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）=x+
a
x
的定義域為（0，+∞），且f（2）=2+
2
2
．設點P是函數圖象上的任意一點，過點P分別作直線y=x和y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）求a的值．
（2）問：|PM|•|PN|是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．
（3）設O為坐標原點，求四邊形OMPN面積的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點，橫坐標為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求證：y1+y2為定值；
（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數列{an}的前n項和，若Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=log3
3
x
1-x
，M（x1，y1），N（x2，y2）是f（x）圖象上的兩點，且x1+x2=1．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）（n∈N*，N≥2），求Sn；
（3）在（2）的條件下，若an=
1
6
 ，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn為數列{an}的前n項和．求Tn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=sin（2x-
π
6
），g（x）=sin（2x+
π
3
），直線y=m與兩個相鄰函數的交點為A，B，若m變化時，AB的長度是一個定值，則AB的值是（　�。�

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