Question

如圖，已知圓，經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F及上頂點(diǎn)B，過圓外一點(diǎn)傾斜角為的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，

（1）求橢圓的方程；

（2）若右焦點(diǎn)F在以線段CD為直徑的圓E的外部，求m的取值范圍．

 

 

Answer 1

(1); (2)．

【解析】

試題分析：（1）依據(jù)題意可求得F，B的坐標(biāo)，求得c和b，進(jìn)而求得a，則橢圓的方程可得；（2）設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去，利用判別式大于0求得m的范圍，設(shè)出C，D的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理表示出x1+x2和x1x2，進(jìn)而利用直線方程求得y1y2，表示出和，進(jìn)而求得的表達(dá)式，利用F在圓E的內(nèi)部判斷出＜0求得m的范圍，最后綜合可求得m的范圍．

【解析】
（1）∵圓G：經(jīng)過點(diǎn)F、B．

∴F（2，0），B（0，）， ∴，． 2分

∴．故橢圓的方程為． 4分

（2）解1：設(shè)直線的方程為．

由消去得．

設(shè)，，則，， 6分

∴．

∵，，

∴= =． 10分

∵點(diǎn)F在圓G的外部，∴， 即，

解得或． 12分

由△=，解得．又，．

． 14分

解2：設(shè)直線的方程為．

由消去得．

設(shè)，，則，， 6分

則CD的中點(diǎn)為，

又

所以圓G的半徑長(zhǎng)

又右焦點(diǎn)F（2，0），所以

因點(diǎn)F在圓G的外部，所以

，整理得

解得或． 12分

由△=，解得．又，．

． 14分．

考點(diǎn)：1．直線與圓錐曲線的綜合問題；2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．