Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S_n+1=4a_n+k（k≠-1，n∈N^*）．
（1）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n，求證：{b_n}是等比數(shù)列：
（2）設(shè)c_n=

an

2n

，且{c_n}是公差為1的等差數(shù)列，求k及S_n的值．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n+1=4a_n+k可得S_n+2=4a_n+1+k，兩式相減可得b_n+1=2b_n，由等比數(shù)列的定義可得；
（2）由（1）知b_n=（k+1）2^n-1，可得c_n+1-c_n=

k+1

4

=1，由等差數(shù)列的通項公式可得c_n和k值，進而可得a_n=2ⁿ（n-

1

2

），代入S_n=4a_n-1+k，計算可得．

解答： 解：（1）∵S_n+1=4a_n+k，∴S_n+2=4a_n+1+k，
兩式相減可得a_n+2=S_n+2-S_n+1=4a_n+1-4a_n，
變形可得a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
∴b_n+1=2b_n，
又∵S₂=a₁+a₂=4a₁+k，∴a₂=k+3，
∴b₁=a₂-2a₁=k+1≠0
∴{b_n}是k+1為首項2為公比的等比數(shù)列
（2）由（1）知b_n=（k+1）2^n-1，
∴a_n+1-2a_n=（k+1）2^n-1，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

k+1

4

，
∴c_n+1-c_n=

k+1

4

=1，
解得k=3，又c₁=

a1

2

=

1

2

，
∴c_n=

an

2n

=

1

2

+n-1=n-

1

2

，∴a_n=2ⁿ（n-

1

2

）
∴S_n=4a_n-1+k=4×=2^n-1（n-1-

1

2

）+3
=2ⁿ⁺¹（n-

3

2

）+3

點評：本題考查等差數(shù)列和數(shù)列的遞推公式，涉及等差和等比的判定，屬中檔題．