Question

18．設函數f（x）=lg（x+1）的定義域為集合A，g（x）=$\sqrt{2x+m-{x}^{2}}$的定義域為集合B．
（1）當m=3時，求A∩（∁_RB）；
（2）若A∩B={x|-1＜x≤4}，求實數m的值．

Answer 1

分析 （1）分別求出f（x）與g（x）的定義域確定出A與B，求出A與B補集的交集即可；
（2）表示出g（x）的定義域，根據A與B的交集，確定出m的值即可．

解答 解：（1）由函數f（x）=lg（x+1），得到x+1＞0，
解得：x＞-1，即A=（-1，+∞）；
由函數g（x）=$\sqrt{2x+m-{x}^{2}}$及m=3，得到-x²+2x+3≥0，
整理得：x²-2x-3≤0，即（x-3）（x+1）≤0，
解得：-1≤x≤3，即B=[-1，3]，
∴∁_RB=（-∞，-1）∪（3，+∞），
則A∩（∁_RB）=（3，+∞）；
（2）由B中函數得：-x²+2x+m≥0，即x²-2x-m≤0，
∵A=（-1，+∞），A∩B=（-1，4]，
∴x=4是方程x²-2x-m=0的解，
把x=4代入方程得：16-8-m=0，
解得：m=8．

點評 此題考查了交集及其運算，交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．