Question

17．在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，B=45°，b=3．
（Ⅰ）若cosC+$\sqrt{2}$cosA=1，求A和c的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow m$=（2sin$\frac{A}{2}$，-1），$\overrightarrow n$=（$\sqrt{3}$cos$\frac{A}{2}$，2sin²$\frac{A}{2}}$），f（A）=$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意和內角和定理求出C，由兩角差的余弦公式、兩角和的正弦公式化簡已知的等式，由A的范圍和特殊角的三角函數值求出A，判斷出△ABC的形狀，由勾股定理求出c；
（Ⅱ）利用二倍角公式及變形，兩角和的正弦公式化簡f（A），由A的范圍和正弦函數的圖象與性質，求出
f（A）的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵B=45°，∴C=180°-A-B=135°-A，
∴${cosC}+\sqrt{2}{cosA}=cos（{{{135}^0}-A}）+\sqrt{2}{cosA}$
=$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}{cosA}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinA+\sqrt{2}{cosA}$
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinA+\frac{{\sqrt{2}}}{2}{cosA}=sin（{A+{{45}^0}}）=1$，
又∵A+45⁰∈（45⁰，180⁰），∴A+45⁰=90⁰，得A=45°．
∴△ABC為等腰直角三角形，$c=\sqrt{{a^2}+{b^2}}=3\sqrt{2}$．…（6分）
（Ⅱ）∵$\overrightarrow m$=（2sin$\frac{A}{2}$，-1），$\overrightarrow n$=（$\sqrt{3}$cos$\frac{A}{2}$，2sin²$\frac{A}{2}}$），
∴$f（A）=\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=2sin\frac{A}{2}•\sqrt{3}cos\frac{A}{2}-2si{n}^{2}\frac{A}{2}$
=$\sqrt{3}$sinA-（1-cosA）=$2sin（A+\frac{π}{6}）-1$（10分）
由$0＜A＜\frac{3}{4}π$得，$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{11}{12}π$，
∴$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}＜sin（A+\frac{π}{6}）≤1$，則$f（A）∈（{\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}-2}}{2}，1}]$，
即f（A）的取值范圍是$（\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}-2}{2}，1]$ …（6分）

點評 本題考查了二倍角公式及變形，兩角和的余弦公式、兩角差的余弦公式，以及正弦函數的圖象與性質，考查整體思想，化簡、變形能力，注意內角的范圍．