Question

5．如圖所示，⊙O和⊙P相交于A，B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點，連接DB并延長交⊙O于點E．
（Ⅰ） 若BC=2，BD=4，求AB的長；
（Ⅱ） 若AC=3，求AE的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先由AC與⊙O′相切于A，得∠BAC=∠BDA，同理得到∠BAD=∠BCA，△BAC∽△BDA，即可得出結論；
（Ⅱ）連接EC，證明∠AEC=∠ACE，可得AE=AC．

解答 解：（Ⅰ）由弦切角定理得∠BAC=∠BDA，---------（1分）
∠BAD=∠BCA，----------------------------------------------------（2分）
所以△BAC∽△BDA，----------------------------------------------（3分）
得$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}$，------------------------------------（4分）
所以AB²=BC•BD=8，
所以$AB=2\sqrt{2}$；---------------------------------（5分）
（Ⅱ）連接EC，∵∠AEC=∠AEB+∠BEC，∠ACE=∠ABE=∠BAD+∠ADB，
∵∠AEB=∠BAD，∠BAC=∠BDA=∠BEC，
∴∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC=3（10分）

點評 本題主要考查與圓有關的比例線段、相似三角形的判定及切線性質的應用．屬于中檔題．