Question

已知函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的定義域
（2）證明函數(shù)f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)．

Answer 1

解：（1）
又∵2^x-1≠0?x≠0，
∴函數(shù)f（x）的定義域{x|x∈R且x≠0}，
（2）設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂
則，
∵x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
∴且，
∴＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）
∴根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義知：函數(shù)f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)．
分析：（1）要是函數(shù)有意義，只需函數(shù)分母不為零即可，解這個指數(shù)不等式即可得函數(shù)的定義域；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，利用作差法證明f（x₁）＞f（x₂），進(jìn)而證明函數(shù)f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)定義域的求法，函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)單調(diào)性的方法，指數(shù)不等式的解法與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題