【題目】如圖所示,底面ABC為正三角形,EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC,EA=AB=2DC=2a,設(shè)F為EB的中點(diǎn).
(1)求證:DF∥平面ABC;
(2)求直線AD與平面AEB所成角的正弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】試題分析:(1)過(guò)點(diǎn)F作FH∥EA交AB于點(diǎn)H,根據(jù)平幾知識(shí)可得CDFH是平行四邊形,即得DF∥CH,再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論(2)先根據(jù)正三角形性質(zhì)得CH⊥AB,再根據(jù)線面垂直判定定理得CH⊥平面AEB,即得DF⊥平面AEB,從而∠DAF為直線AD與平面AEB所成的角.最后解直角三角形得直線AD與平面AEB所成角的正弦值.
試題解析:(1)證明 如圖,過(guò)點(diǎn)F作FH∥EA交AB于點(diǎn)H,連接HC.
∵EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC,
∴EA∥DC.
又FH∥EA,
∴FH∥DC.
∵F是EB的中點(diǎn),
∴FH=AE=DC.
∴四邊形CDFH是平行四邊形,
∴DF∥CH.
又CH平面ABC,DF平面ABC,
∴DF∥平面ABC.
(2)解 ∵△ABC為正三角形,H為AB的中點(diǎn),∴CH⊥AB.
∵EA⊥平面ABC,CH平面ABC,
∴CH⊥EA.
又EA∩AB=A,EA平面AEB,
AB平面AEB,
∴CH⊥平面AEB.
∵DF∥CH,
∴DF⊥平面AEB,
∴AF為DA在平面AEB上的投影,
∴∠DAF為直線AD與平面AEB所成的角.
在Rt△AFD中,AD=a,DF=a,sin∠DAF==,
∴直線AD與平面AEB所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x(ln x-ax)有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. (-∞,0) B.
C. (0,1) D. (0,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論在上的單調(diào)性;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得在上的最大值為,若存在,求滿足條件的a的個(gè)數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= (其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),常數(shù)a>0).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線在(0,f(0))處的切線方程;
(2)若存在實(shí)數(shù)x∈(a,2],使得不等式f(x)≤e2成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x(1-)是R上的偶函數(shù).
(1)對(duì)任意的x∈[1,2],不等式m·≥2x+1恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(2)令g(x)=1-,設(shè)函數(shù)F(x)=g(4x-n)-g(2x+1-3)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)n的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD的底面為矩形,AB=,BC=1,E,F分別是AB,PC的中點(diǎn),DE⊥PA.
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求證:平面PAC⊥平面PDE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)、分別在、上運(yùn)動(dòng),若的最小值為1,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率,過(guò)且與軸垂直的直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,長(zhǎng)方體中, , ,點(diǎn), , 分別為, , 的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的平面與平面平行,且與長(zhǎng)方體的面相交,交線圍成一個(gè)幾何圖形.
(1)在圖中畫出這個(gè)幾何圖形(說(shuō)明畫法,不需要說(shuō)明理由);
(2)求二面角 的余弦值.
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