Question

（2012•嘉定區(qū)三模）已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

+b（x≠0），其中a、b為實(shí)常數(shù)．
（1）若方程f（x）=3x+1有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解x=2，求a、b的值；
（2）設(shè)a＞0，x∈（0，+∞），寫(xiě)出f（x）的單調(diào)區(qū)間，并對(duì)單調(diào)遞增區(qū)間用函數(shù)單調(diào)性定義進(jìn)行證明；
（3）若對(duì)任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在x∈[

1

4

，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意，原方程可化為2x²+（1-b）x-a=0，由

10-a-2b=0 (1-b)2+8a=0

即可解得a、b的值；
（2）當(dāng)a＞0，x＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，

a

）上是減函數(shù)，在（

a

，+∞）上是增函數(shù)；利用定義證明時(shí)，先設(shè)x₁，x₂∈（

a

，+∞），且x₁＜x₂，再作差f（x₂）-f（x₁）后化積討論即可；
（3）依題意得

f( 1 4 )≤10 f(1)≤10

，可解得到b≤

7

4

，從而可得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（1）由已知，方程）=x+

a

x

+b=3x+1有且僅有一個(gè)解x=2，
因?yàn)閤≠0，故原方程可化為2x²+（1-b）x-a=0，…（1分）
所以

10-a-2b=0 (1-b)2+8a=0

，…（3分）解得a=-8，b=9．…（5分）
（2）當(dāng)a＞0，x＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，

a

）上是減函數(shù)，在（

a

，+∞）上是增函數(shù)．…（7分）
證明：設(shè)x₁，x₂∈（

a

，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=x₂+

a

x2

-x₁-

a

x1

=（x₂-x₁）•

x1x2-a

x1x2

，
因?yàn)閤₁，x₂∈（

a

，+∞），且x₁＜x₂，
所以x₂-x₁＞0，x₁x₂＞a，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0．…（10分）
所以f（x）在（

a

，+∞）上是增函數(shù)．…（11分）
（3）因?yàn)閒（x）≤10，故x∈[

1

4

，1]時(shí)有f（x）_max≤10，…（12分）
由（2），知f（x）在區(qū)間[

1

4

，1]的最大值為f（

1

4

）與f（1）中的較大者．…（13分）
所以，對(duì)于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在x∈[

1

4

，1]上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)

f( 1 4 )≤10 f(1)≤10

，
即

b≤ 39 4 -4a b≤9-a

對(duì)任意的a∈[

1

2

，2]成立．…（15分）
從而得到b≤

7

4

．  …（17分）
所以滿(mǎn)足條件的b的取值范圍是（-∞，

7

4

]．  …（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查方程思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．