【題目】如圖，已知是直角梯形，，垂直于平面，，．

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）求平面與平面所成銳二面角的正切值．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

解法1：（1）根據(jù)已知利用線面垂直的判定定理可以證明出平面，根據(jù)可以得到到平面的距離等于到平面的距離，最后利用線面角的定義求出直線與平面所成角的正弦值；

（2）延長，，設點是它們的交點，連接，則所求二角角延展為二面角．利用線面垂直的判定定理、二面角的定義可以證明出是二面角的平面角，最后利用正切函數(shù)的定義求出平面與平面所成銳二面角的正切值．

解法2：如圖，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系．

（1）利用空間向量夾角公式求出直線與平面所成角的正弦值；

（2）利用空間向量夾角公式求出平面與平面所成銳二面角的余弦值，再根據(jù)同角的三角函數(shù)的關系式求出平面與平面所成銳二面角的正切值．

解法1：（1）因為，，所以平面，于是到平面的距離為．

因為，所以到平面的距離等于到平面的距離等于．

由題設，所以直線與平面所成角的正弦值為．

（2）延長，，設點是它們的交點，連接，則所求二角角延展為二面角．

因為，，所以平面．在平面內(nèi)過作于點，連接，所以有，因此有平面,所以，于是是二面角的平面角．

由題設，，所以AF＝，所以tan∠AFD＝ .

故平面與平面所成二面角的正切值為．

解法2：（1）如圖，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系．

由已知得，，，，，．

平面的一個法向量為．因為，

因此直線與平面所成角的正弦值為．

（2）設平面的法向量為，．由，得，

可取．取平面的法向量為．

所以．所以，

由圖知平面與平面所成二面角銳二面角，所以正切值為．

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】已知函數(shù)（，）為奇函數(shù)，且相鄰兩對稱軸間的距離為．

（1）當時，求的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）將函數(shù)的圖象沿軸方向向右平移個單位長度，再把橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象．當時，求函數(shù)的值域．

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（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若曲線與曲線交于M，N兩點，直線OM和ON的斜率分別為和，求的值．

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【題目】已知橢圓的離心率為，且過點，若點在橢圓C上，則點稱為點M的一個“橢點”.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若直線與橢圓C相交于A，B兩點，且A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，試判斷的面積是否為定值?若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的左、右頂點分別為，，圓上有一動點，在軸上方，點，直線交橢圓于點，連接，.

（1）若，求的面積；

（2）設直線，的斜率存在且分別為，，若，求的取值范圍.

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【題目】已知橢圓過點，是該橢圓的左、右焦點，是上頂點，且是等腰直角三角形.

（1）求的方程；

（2）已知是坐標原點，直線與橢圓相交于兩點，點在上且滿足四邊形是一個平行四邊形，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設是橢圓上的點，是焦點，離心率.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設是橢圓上的兩點，且，問線段的垂直平分線是否過定點？若過定點，求出此定點的坐標，若不過定點，說明理由.

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【題目】四棱錐中，底面為矩形， .側面底面.

（1）證明： ；

（2）設與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

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【題目】如圖是函數(shù)的部分圖象，將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位長度得到g（x）的圖象，給出下列四個命題：

①函數(shù)f（x）的表達式為；

②g（x）的一條對稱軸的方程可以為；

③對于實數(shù)m，恒有；

④f（x）+g（x）的最大值為2．其中正確的個數(shù)有（　　）

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

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