Question

6．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）是否存在平行于OA的直線(xiàn)l，使得直線(xiàn)l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線(xiàn)OA與l的距離等于4？若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，且可知左焦點(diǎn)為F'（-2，0），利用已知條件列出方程，求出a，c然后求解b，即可得到橢圓方程．
（Ⅱ）假設(shè)存在符合題意的直線(xiàn)l，其方程為$y=\frac{3}{2}x+t$．聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，利用判別式△≥0，推出t的范圍，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式公式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意，可設(shè)橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，且可知左焦點(diǎn)為F'（-2，0），
從而有$\left\{\begin{array}{l}c=2\\ 2a=|AF|+|AF'|=3+5=8\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}c=2\\ a=4\end{array}\right.$，又a²=b²+c²，∴b²=12．
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．
（Ⅱ）假設(shè)存在符合題意的直線(xiàn)l，其方程為$y=\frac{3}{2}x+t$．
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{2}x+t\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\end{array}\right.$得3x²+3tx+t²-12=0．
∵直線(xiàn)l與橢圓C有公共點(diǎn)，∴△=（3t）²-4×3（t²-12）≥0，解得$-4\sqrt{3}≤t≤4\sqrt{3}$．
另一方面，直線(xiàn)OA與l的距離等于4，可得$\frac{|t|}{{\sqrt{\frac{9}{4}+1}}}=4$，從而$t=±2\sqrt{13}$．
由于$±2\sqrt{13}∉[-4\sqrt{3}，4\sqrt{3}]$，∴符合題意的直線(xiàn)l不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，橢圓方程的求法，存在性問(wèn)題的處理方法，考查轉(zhuǎn)化思想，是難度比較大的題目．