Question

設函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+2的導函數(shù)為f′（x），若f′（x）為奇函數(shù)，則有（　�。�

A．a(chǎn)≠0，c=0

B．b=0

C．a(chǎn)=0，c≠0

D．a(chǎn)²+c²=0

Answer 1

分析：先求導數(shù)f′（x），由f′（x）為奇函數(shù)可知f'（x）=-f'（-x），故3ax²+c恒成立恒成立，所以a=c=0，由此得出答案．

解答：解：函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+2的導函數(shù)為f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵函數(shù)f′（x）=3ax²+2bx+c是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f'（x）=-f'（-x），即3ax²+2bx+c=-3ax²+2bx-c，
∴3ax²+c恒成立，a=c=0．即a²+c²=0．
故選D．

點評：本題考查導數(shù)的運算、函數(shù)奇偶性的判斷、函數(shù)的解析式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．