已知函數(shù)f(x)=
x
+a，g(x)=x+2a
x
(a＞0)，
（1）當a=1時，求|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|的最小值；  
（2）|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|＞5對x∈[1，4]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）利用換元法，可將求|
ag(x)+3f(x)
f(x)
| 的最小值轉化為利用基本不等式可求最小值；
（2）由x∈[1，4]得t∈[1+a，2+a]，由|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|＞5整理可得at2-2t-a3＞0①或at2+8t-a3＜0②．構造函數(shù)φ（t）=at2-2t-a3，因為△=4+4a4＞0，結合該函數(shù)的圖象可求實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：令f(x)=
x
+a=t，則g（x）=t2-a2，|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|=|
at2+3t-a3
t
|．
（1）當a=1時，t≥1，故t-
1
t
+3=
(t-1)(t+1)
t
+3≥3，因此|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|=|
t2+3t-1
t
|=|t-
1
t
+3|≥3，當且僅當t=1即x=0時取等號．
所以|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|的最小值是3；
（2）由x∈[1，4]得t∈[1+a，2+a]，由|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|＞5整理可得at2-2t-a3＞0①或at2+8t-a3＜0②．因此①式或②式對于任意的t∈[1+a，2+a]恒成立．顯然at2+8t-a3=a（t2-a2）+8t＞0，故②式不成立．
令φ（t）=at2-2t-a3，因為△=4+4a4＞0，
結合該函數(shù)的圖象可得
φ(1+a)＞0
1
a
＜1+a
或
φ(2+a)＞0
1
a
＞2+a
?（ I）
2a2-a-2＞0
a2+a-1＞0
或（ II）
2a2+a-2＞0
a2+2a-1＜0
．
結合a＞0可知不等式組（ I）的解為a＞
17
+1
4
，不等式組（ II）無解．所以a＞
17
+1
4
．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，關鍵是換元轉化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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