Question

20．中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分展現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．給出定義：能夠?qū)�圓O的周長和面積同時平分的函數(shù)稱為這個圓的“優(yōu)美函數(shù)”．給出下列命題：
①對于任意一個圓O，其“優(yōu)美函數(shù)”有無數(shù)個；
②正弦函數(shù)y=sinx可以同時是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；
③函數(shù)f（x）=ln（x²+$\sqrt{{x^2}+1$）可以是某個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；
④函數(shù)y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對稱圖形．
其中正確的命題是①②（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 過圓心的直線都可以將圓的周長和面積同時平分，故①正確；
將圓的圓心放在正弦函數(shù)y=sinx的對稱中心上，則正弦函數(shù)y=sinx是該圓的“優(yōu)美函數(shù)”；故②正確；
作函數(shù)f（x）=ln（x²+$\sqrt{{x^2}+1$）的大致圖象，從而判斷．
函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對稱圖形，則y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”，但函數(shù)y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”時，圖象不一定是中心對稱圖形，作圖舉反例即可．

解答 解：過圓心的直線都可以將圓的周長和面積同時平分，
故對于任意一個圓O，其“優(yōu)美函數(shù)”有無數(shù)個，故①正確；
將圓的圓心放在正弦函數(shù)y=sinx的對稱中心上，
則正弦函數(shù)y=sinx是該圓的“優(yōu)美函數(shù)”；
故有無數(shù)個圓成立，故②正確；
函數(shù)f（x）=ln（x²+$\sqrt{{x^2}+1$）的大致圖象如圖1，
故其不可能為圓的“優(yōu)美函數(shù)”；
函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對稱圖形，則y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”，
但函數(shù)y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”時，圖象不一定是中心對稱圖形，如圖2，

故答案為：①②．

點評 本題考查了學生的學習能力及數(shù)形結(jié)合的思想方法應用，屬于中檔題．