Question

15．甲、乙兩人組成“風(fēng)云隊(duì)”參加某電視臺(tái)舉辦的漢字聽寫大賽活動(dòng)，每一回合由主持人說出一個(gè)詞語，并由兩們選手各自按照要求規(guī)則聽寫，在每一回合中，如果兩人都寫對(duì)，則“風(fēng)云隊(duì)”得2分；如果只有一個(gè)寫對(duì)，則“風(fēng)云隊(duì)”得1分；如果兩人都沒寫對(duì)，則“風(fēng)云隊(duì)”得0分．已知甲每一回合寫對(duì)的概率是$\frac{3}{4}$，乙每一回合寫對(duì)的概率是$\frac{1}{2}$；每一回合中甲、乙寫對(duì)與否互不影響，各回合結(jié)果互不影響，假設(shè)“風(fēng)云隊(duì)”參加了兩個(gè)回合的活動(dòng)．
（1）求“風(fēng)云隊(duì)”在兩個(gè)回合中至少寫對(duì)3個(gè)詞語的概率；
（2）X表示“風(fēng)云隊(duì)”兩個(gè)回合得分之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）“風(fēng)云隊(duì)”至少寫對(duì)3個(gè)詞語包含“甲寫對(duì)1個(gè)，乙寫對(duì)2個(gè)”，“甲寫對(duì)2個(gè)，乙寫對(duì)1個(gè)”，“甲寫對(duì)2個(gè)，乙寫對(duì)2個(gè)”三個(gè)基本事件，進(jìn)而可得答案；
（2）由已知可得：“風(fēng)云隊(duì)”兩輪得分之和為X可能為：0，1，2，3，4，6，進(jìn)而得到X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）“風(fēng)云隊(duì)”至少寫對(duì)3個(gè)詞語包含“甲寫對(duì)1個(gè)，乙寫對(duì)2個(gè)”，
“甲寫對(duì)2個(gè)，乙寫對(duì)1個(gè)”，“甲寫對(duì)2個(gè)，乙寫對(duì)2個(gè)”三個(gè)基本事件，
故概率P=${C}_{2}^{1}•\frac{3}{4}•（1-\frac{3}{4}）•（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}•{C}_{2}^{1}•\frac{1}{2}•（1-\frac{1}{2}）$$+（\frac{3}{4}）^{2}•（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{33}{64}$；
（2）“風(fēng)云隊(duì)”兩輪得分之和為X可能為：0，1，2，3，4，6，
則P（X=0）=$（1-\frac{3}{4}）^{2}•（1-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{64}$，
P（X=1）=2×[$\frac{3}{4}•（1-\frac{3}{4}）•（1-\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{3}{4}）^{2}•\frac{1}{2}•（1-\frac{1}{2}）$]=$\frac{1}{8}$，
P（X=2）=$\frac{3}{4}•（1-\frac{1}{2}）•\frac{3}{4}•（1-\frac{1}{2}）$$+\frac{3}{4}•（1-\frac{1}{2}）•（1-\frac{3}{4}）•\frac{1}{2}$$+（1-\frac{3}{4}）•\frac{1}{2}•\frac{3}{4}•（1-\frac{1}{2}）$$+（1-\frac{3}{4}）•\frac{1}{2}•（1-\frac{3}{4}）•\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=3）=2×$\frac{3}{4}•\frac{1}{2}•（1-\frac{3}{4}）•（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{32}$，
P（X=4）=2×[$\frac{3}{4}•（1-\frac{3}{4}）•（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}•（1-\frac{1}{2}）•（\frac{3}{4}）^{2}$]=$\frac{3}{8}$，
P（X=6）=$（\frac{3}{4}）^{2}•（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{9}{64}$．
故X的分布列如下圖所示：

X	0	1	2	3	4	6
P	$\frac{1}{64}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{32}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{9}{64}$

∴數(shù)學(xué)期望EX=0×$\frac{1}{64}$+1×$\frac{1}{8}$+2×$\frac{1}{4}$+3×$\frac{3}{32}$+4×$\frac{3}{8}$+6×$\frac{9}{64}$=$\frac{13}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬中檔題．