Question

6．四名教師被分到甲、乙、丙三所學(xué)校參加工作，每所學(xué)校至少一名教師．
（Ⅰ）求A、B兩名教師被同時(shí)分配到甲學(xué)校的概率；
（Ⅱ）求A、B兩名教師不在同一學(xué)校的概率；
（Ⅲ）設(shè)隨機(jī)變量ξ為這四名教師中分配到甲學(xué)校的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出四名教師被分到甲、乙、丙三所學(xué)校的所有可能情況，A、B兩名教師被同時(shí)分配到甲學(xué)校的情況數(shù)；然后求解概率．
（Ⅱ）求出A、B兩名教師被分在同一學(xué)校的概率，利用對(duì)立事件的概率求解即可．
（Ⅲ）隨機(jī)變量ξ的可取值為1，2；求出概率得到分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（Ⅰ）四名教師被分到甲、乙、丙三所學(xué)校的所有可能情況為$C_4^2A_3^3=36$種 （1分）A、B兩名教師被同時(shí)分配到甲學(xué)校的情況為$A_2^2$
所以A、B兩名教師被同時(shí)分配到甲學(xué)校的概率為$P=\frac{A_2^2}{C_4^4A_3^3}=\frac{1}{18}$…（5分）
（Ⅱ）A、B兩名教師被分在同一學(xué)校的概率為$P'=\frac{A_3^3}{C_4^4A_3^3}=\frac{1}{6}$
所以A、B兩名教師不在同一學(xué)校的概率$P=1-P'=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$…（9分）
（Ⅲ）隨機(jī)變量ξ的可取值為1，2；
$P（ξ=1）=\frac{C_4^1C_3^2A_2^2}{C_4^4A_3^3}=\frac{2}{3}$；
$P（ξ=2）=\frac{C_4^2A_2^2}{C_4^4A_3^3}=\frac{1}{3}$
所以隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ	1	2
P	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$

（不列表不扣分）…（11分）
$Eξ=1×\frac{2}{3}+2×\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查古典概型概率的求法，對(duì)立事件的概率的求法，分布列以及期望的求法，考查計(jì)算能力．