Question

已知A、B為橢圓

x2

4

+y²=1的左、右頂點．P（異于A、B）為橢圓上動點，PQ⊥AB于Q，

PR

=λ

PQ

（λ＜0），直線AR與BP交于點M，則當λ=

 

時，M到O的距離為定值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：如圖所示，由圖可知：當BM⊥AR時，|OM|=

1

2

|AB|=a=2為定值．設P（m，n），則Q（m，0），由

PR

=λ

PQ

（λ＜0），可得

OR

=

OP

+λ

PQ

=（m，n-λn）．由

AR

•

PB

=4-m²-n（n-λn）=0，及

m2

4

+n2=1，即可解出．

解答： 解：如圖所示，
由圖可知：當BM⊥AR時，|OM|=

1

2

|AB|=a=2為定值．
設P（m，n），則Q（m，0），
∵

PR

=λ

PQ

（λ＜0），
∴

OR

=

OP

+λ

PQ

=（m，n-λn）．
∴

AR

=（m+2，n-λn），

PB

=（2-m，-n），
∴

AR

•

PB

=4-m²-n（n-λn）=0，
又

m2

4

+n2=1，
∴4n²-n（n-λn）=0，
解得λ=-3．
故答案為：-3．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關系、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．