Question

F為拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線上三點(diǎn)．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若F是△ABC的重心，△OFA，△OFB，△OFC的面積分別為S₁，S₂，S₃，則++的值為（ ）
A．3
B．4
C．6
D．9

Answer 1

【答案】分析：設(shè)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），結(jié)合拋物線方程可得S₁²+S₂²+S₃²=x₁+x₂+x₃，再由三角形重心坐標(biāo)公式，得到x₁+x₂+x₃=3，進(jìn)而得到++的值．
解答：解：設(shè)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），則
∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（1，0）
∴S₁=|y₁|，S₂=|y₂|，S₃=|y₃|
∴S₁²+S₂²+S₃²=（y₁²+y₂²+y₃²），
∵A、B、C在拋物線y²=4x上，∴y₁²=x₁，y₂²=x₂，y₃²=x₃，
由此可得：S₁²+S₂²+S₃²=x₁+x₂+x₃，
∵點(diǎn)F（1，0）是△ABC的重心，
∴（x₁+x₂+x₃）=1，可得x₁+x₂+x₃=3
因此，S₁²+S₂²+S₃²=3
故選：A
點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線的內(nèi)接三角形以拋物線焦點(diǎn)為重心，求三個(gè)三角形面積的平方和．著重考查了三角形的重心公式、拋物線的基本概念和簡(jiǎn)單性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．