Question

21、如圖，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，沿矩形的對角線BD把△ABD折起，使A移到A₁點，且A₁在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
求證：（1）BC⊥A₁D；
（2）平面A₁BC⊥平面A₁BD．

Answer 1

分析：（1）通過證明BC⊥A₁O，BC⊥CO，證明BC⊥平面A₁CD，從而證明BC⊥A₁D，即由線線垂直推出線面垂直，再由線面垂直證出線線垂直．
（2）由（1）知BC⊥A₁D，因為ABCD為矩形，所以A₁B⊥A₁D，可證A₁D⊥平面A₁BC，從而達到目的，關鍵在一個平面內找到一條線和另一個平面垂直．

解答：證明：（1）由于A₁在平面BCD上的射影O在CD上，
則A₁O⊥平面BCD，又BC?平面BCD，
則BC⊥A₁O，
又BC⊥CO，A₁O∩CO=O，
則BC⊥平面A₁CD，又A₁D?平面A₁CD，
故BC⊥A₁D．
（2）因為ABCD為矩形，所以A₁B⊥A₁D，
由（1）知BC⊥A₁D，A₁B∩BC=B，則A₁D⊥平面A₁BC，又A₁D?平面A₁BD．
從而有平面A₁BC⊥平面A₁BD．

點評：本題考查線面垂直，面面垂直的判定，關鍵是正確進行線線垂直于面面垂直間的轉化．