Question

在平面幾何中有如下結(jié)論：等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高，請你運用類比的方法將此命題推廣到空間中應為：

 

．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是類比推理，在由平面幾何性質(zhì)，類比推理空間幾何體的性質(zhì)，一般是：由點的性質(zhì)類比推理線的性質(zhì)，由線的性質(zhì)類比推理面的性質(zhì)，由面的性質(zhì)類比推理體的性質(zhì)．

解答：解：設(shè)等腰三角形ABC的底邊BC=a和腰AB=AC=b確定，
則它的高h確定，設(shè)P是底邊BC上任一點，P到兩腰的距離分別為h₁，h₂，
由面積分割得：S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC，
即

1

2

ah=

1

2

b(h1+h2)，故 h1+h2=

a

b

h為定值．
類似地，設(shè)正三棱錐S-ABC的底面邊長和棱長確定，
則它的高h確定，底面積S確定，一個側(cè)面的面積S'也確定，
設(shè)P是底面ABC上任一點，P到到三個側(cè)面的距離分別為h₁，h₂，h₃，
由體積分割得：V_S-ABC=V_P-SAB+V_P-SBC+V_P-SAC，
即

1

3

Sh=

1

3

S′(h1+h2+h3)，故 h1+h2+h3=

S

S′

h為定值．
故答案為：底面邊長和側(cè)棱長都確定的底面上任意一點到三個側(cè)面的距離之和為定值

點評：本小題是一道類比推理問題，主要考查創(chuàng)新思維能力．事實上，平面幾何中的不少定理、結(jié)論都可以類比推廣到空間中去，值得我們進一步去探索和研究．