Question

【題目】已知函數(shù).

(1) 求的單調(diào)區(qū)間；

(2) 討論在上的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：

（1）求導數(shù)得，當時，則恒成立，故的單調(diào)遞増區(qū)間為．當時，由得，由得，

故的單調(diào)遞増區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）令，分離參數(shù)得，由于，故當時，函數(shù)無零點；當時，令，可得在上單調(diào)遞增，在(上單調(diào)遞減，故，所以當時， 有1個零點，當時， 有2個零點．

試題解析：

⑴因為，

所以，

①當時，則恒成立，

所以的單調(diào)遞増區(qū)間為，

②當時，

令得，

令得，

所以的單調(diào)遞増區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

綜上：當時， 的單調(diào)遞増區(qū)間為；

當時， 的單調(diào)遞増區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

(2)令，

所以

因為，所以，

所以若，則無零點．

若，令，

則，

故當時， ， 單調(diào)遞增；當時， ， 單調(diào)遞減．

所以當時， 有極大值，也為最大值，且，

又當時， ，當時， ，

所以當時， 有1個零點，

當時， 有2個零點．

綜上，當時，函數(shù)無零點；當時， 有1個零點；當時， 有2個零點．