Question

12．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+5．
（1）是否存在實數(shù)a，使f（x）的定義域和值域是[1，a]，若存在，求出a，若不存在，說明理由；
（2）若f（x）在x∈[0，1]上有零點，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對任意的x∈[1，a+1]，總有|f（x）|≤4，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x∈[1，a]時，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)x=1時，函數(shù)取最大值6-2a，當(dāng)x=a時，函數(shù)取最小值5-a²，若存在實數(shù)a，使f（x）的定義域和值域是[1，a]，則5-a²=1，且6-2a=a，解得答案；
（2）①當(dāng)a∉[0，1]時，若f（x）在x∈[0，1]上有零點，則f（0）f（1）=5（6-2a）≤0，②當(dāng)a∈[0，1]時，△=4a²-20＜0，f（x）在x∈[0，1]上沒有零點，綜合討論結(jié)果可得答案；
（3）對任意的x∈[1，a+1]，總有|f（x）|≤4，只須-4≤f（x）_max≤4，且-4≤f（x）_min≤4，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論，可得答案．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-2ax+5的圖象是開口朝上，
且以直線x=a為對稱軸的拋物線，其中a＞1，
當(dāng)x∈[1，a]時，函數(shù)為減函數(shù)，
當(dāng)x=1時，函數(shù)取最大值6-2a，
當(dāng)x=a時，函數(shù)取最小值5-a²，
若存在實數(shù)a，使f（x）的定義域和值域是[1，a]，
則5-a²=1，且6-2a=a，
解得：a=2；
（2）①當(dāng)a∉[0，1]時，若f（x）在x∈[0，1]上有零點，
則f（0）f（1）=5（6-2a）≤0，解得：a≥3；
②當(dāng)a∈[0，1]時，△=4a²-20＜0，
f（x）在x∈[0，1]上沒有零點，
綜上所述：a≥3；
（3）若對任意的x∈[1，a+1]，總有|f（x）|≤4，
只須-4≤f（x）_max≤4，且-4≤f（x）_min≤4，
①當(dāng)a∉[1，a+1]，即0＜a＜1時，
f（x）_max=f（a+1）=6-a²，
f（x）_min=f（1）=6-2a，
此時不等式組$\left\{\begin{array}{l}-4≤6-{a}^{2}≤4\\-4≤6-{2a}^{\;}≤4\\ 0＜a＜1\end{array}\right.$無解，
即此時不存在滿足條件的a值；
②當(dāng)a∈[1，a+1]，即a≥1時，
f（x）_max=f（a+1）=6-a²，或f（x）_max=f（1）=6-2a，
f（x）_min=f（a）=5-a²，
1°  若1≤a≤2，則f（x）_max=f（a+1）=6-a²，
解$\left\{\begin{array}{l}-4≤6-{a}^{2}≤4\\-4≤5-{a}^{2}≤4\\ 1≤a≤2\end{array}\right.$得：a∈[$\sqrt{2}$，2]，
2° 若a＞2，則f（x）_max=f（1）=6-2a，
解$\left\{\begin{array}{l}-4≤6-2a≤4\\-4≤5-{a}^{2}≤4\\ a＞2\end{array}\right.$得：a∈（2，3]，
綜上所述：a∈[$\sqrt{2}$，3]

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想，函數(shù)的最值，函數(shù)的零點，難度中檔．