Question

9．已知函數(shù)f（x）=g（x）-（a-1）lnx，g（x）=ax+$\frac{2a-1}{x}$+1-3a+（a-1）lnx．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）若不等式g（x）≥0在x∈[1，+∞）時(shí)恒成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，即可求出切線方程；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用g′（x）≥0在x∈[1，+∞）時(shí)恒成立，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x+$\frac{1}{x}$-2，f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴f′（2）=$\frac{3}{4}$，f（2）=$\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$（x-2），
即3x-4y-4=0；
（2）g′（x）=$\frac{a（x-1）[x-（\frac{1}{a}-2）]}{{x}^{2}}$，
0＜a＜$\frac{1}{3}$時(shí)，g′（x）＞0，得x＞$\frac{1}{a}$-2，
令g′（x）＜0，得1＜x＜$\frac{1}{a}$-2，
∴g（x）在（1，$\frac{1}{a}$-2）上是減函數(shù)，
∴x∈（1，$\frac{1}{a}$-2），g（x）＜g（1）=0，
與g（x）≥0在x∈[1，+∞）時(shí)恒成立矛盾，
a≥$\frac{1}{3}$，g′（x）≥0在x∈[1，+∞）時(shí)恒成立，
g（x）在[1，+∞）為增函數(shù)，
∴g（x）≥g（1）=0，符合題意，
綜上所述，a≥$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．