Question

20．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{1}{2}$，且過點(diǎn)$E（{1，\frac{3}{2}}）$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)A，B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線AP交l于點(diǎn)M．設(shè)直線OM的斜率為k₁，直線BP的斜率為k₂，求證：k₁k₂為定值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的離心率公式，求得a=2c，則b²=a²-c²=3c²，將E代入橢圓方程，即可求得a和c的值，即可求得橢圓方程；
（2）設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），即可得出直線AP的方程，令x=2，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用斜率計(jì)算公式即可得出k₁，k₂，再利用點(diǎn)P在橢圓上即可證明．

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，則b²=a²-c²=3c²，將E代入橢圓方程：$\frac{1}{4{c}^{2}}+\frac{9}{4×3{c}^{2}}=1$，解得：c=1，
則a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）證明：由（1）可知：A（-2，0），B（2，0），設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），
則直線AP的方程為：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$（x+2）
令x=2得M（2，$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$）
∴k₁=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，則k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
∴k₁k₂=$\frac{2{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$，
∵P（x₀，y₀）在橢圓上，∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$，y₀²=$\frac{3（4-{x}_{0}^{2}）}{4}$
∴k₁k₂=$\frac{2{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$=$\frac{3}{2}$為定值．
∴k₁k₂為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義及其性質(zhì)、斜率的計(jì)算公式及其直線的點(diǎn)斜式．考查計(jì)算能力，屬于中檔題．