Question

直線l與雙曲線C：交于A、B兩點(diǎn)，M是線段AB的中 點(diǎn)，若l與OM （O是原點(diǎn)）的斜率的乘積等于1，則此雙曲線的離心率為（ ）
A．2
B．
C．3
D．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由M是線段AB的中點(diǎn)，知M（），把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入雙曲線C：，得，故b²（x₁+x₂）（x₁-x₂）-a²（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，直線l的斜率，由M（），O（0，0），知OM的斜率，由l與OM的斜率的乘積等于1，知a=b，由此能求出此雙曲線的離心率．
解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)，∴M（），
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入雙曲線C：，
得，
∴b²（x₁+x₂）（x₁-x₂）-a²（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴直線l的斜率，
∵M(jìn)（），O（0，0），
∴OM的斜率，
∵l與OM的斜率的乘積等于1，
∴•==1，
∴a=b，
∴此雙曲線的離心率e=．
故選B．
點(diǎn)評：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．