Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x-x²+a，x∈R的圖象在點(diǎn)x=0處的切線為y=bx．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若f（x）＞kx對任意的x＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線方程求出a，b的值，從而求出函數(shù)的解析式即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為k＜$\frac{{e}^{x}{-x}^{2}-1}{x}$（x＞0）恒成立，令g（x）=$\frac{{e}^{x}{-x}^{2}-1}{x}$（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2x，切線的斜率k=e⁰-0=1，∴b=1．
∴切線方程為y=x，切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）．
∴e⁰+a=0，∴a=-1，∴f（x）=e^x-x²-1．
（2）由（1）知e^x-x²-1＞kx（x＞0）恒成立，
∴k＜$\frac{{e}^{x}{-x}^{2}-1}{x}$（x＞0）恒成立．
令g（x）=$\frac{{e}^{x}{-x}^{2}-1}{x}$（x＞0），
∴k＜g（x）_min即可
g′（x）=$\frac{（x-1）{（e}^{x}-x-1）}{{x}^{2}}$，
∵x＞0，∴e^x-x-1＞0．
∴g（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
∴當(dāng)x=1時，g（x）取最小值g（1）=e-2，
∴k＜e-2．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查切線方程問題，是一道中檔題．