Question

5．已知x²+y²-4x-2y-4=0，則$\frac{2x+3y+1}{x+2}$的最小值是（　�。�

• A． -2
• B． $-\frac{17}{4}$
• C． $-\frac{29}{5}$
• D． $2-\frac{{9\sqrt{7}}}{7}$

Answer 1

分析 先變形，再令k=$\frac{y-1}{x+2}$．則k是過A（x，y）和B（-2，1）的直線的斜率，利用直線AB和圓有公共點，所以圓心（2，1）到直線距離小于等于半徑r=3，可得結論．

解答 解：$\frac{2x+3y+1}{x+2}$=2+3•$\frac{y-1}{x+2}$．
x²+y²-4x-2y-4=0可化為（x-2）²+（y-1）²=9．
令k=$\frac{y-1}{x+2}$．則k是過A（x，y）和B（-2，1）的直線的斜率，可化為kx-y+（1+2k）=0，
所以直線AB和圓有公共點，所以圓心（2，1）到直線距離小于等于半徑r=3，
所以$\frac{|4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤3，
所以-$\frac{3\sqrt{7}}{7}$≤k≤$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，
所以$\frac{y-1}{x+2}$的最小值是-$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，
所以$\frac{2x+3y+1}{x+2}$的最小值是2-$\frac{9\sqrt{7}}{7}$，
故選D．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，利用圓心（2，1）到直線距離小于等于半徑r=3是關鍵．