Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，AC=BC=1，AA₁=2，∠ACB=90°，M是A₁B₁ 的中點．
（1）求證：C₁ M⊥平面ABB₁ A₁
（2）求異面直線A₁B與B₁ C所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中的幾何體ABC-A₁B₁C₁ 為直三棱柱，AC=BC=1，M是A₁B₁ 的中點．結(jié)合直三棱柱的幾何特征及等腰三角形三線合一的性質(zhì)，我們易得C₁M⊥AA₁，C₁M⊥A₁B₁，進(jìn)而結(jié)合線面垂直的判定定理，易得到答案．
（2）設(shè)BC，BB₁的中點分別為R、N連接RN，連接MN，由三角形中位線定理，及平行角定理得，∠MNR是異面直線A₁B與B₁C所成角或其補角，解三角形MNR，即可求出異面直線A₁B與B₁ C所成角的余弦值．

解答：（1）證明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁∴AA₁⊥面A₁B₁C₁
又C₁M?A₁B₁C₁∴C₁M⊥AA₁（2分）∵A₁C₁=B₁C₁=1，M是A₁B₁的中點∴C₁M⊥A₁B₁（4分）
又AA₁∩A₁B₁=A₁∴C₁M⊥平面ABB₁A₁（6分）
（2）解：設(shè)BC，BB₁的中點分別為R、N連接RN，連接MN，則MN∥A₁B，NR∥B₁C
∴∠MNR是異面直線A₁B與B₁C所成角或其補角（9分）
設(shè)點P為AB的中點，連接MP，MR
在Rt△MPR中，MR=

22+( 1 2 )2

=
在△MNR中，MN=A₁B=

6

2

，RN=

1

2

B₁C=

5

2

，MR=

17

2

由余弦定理得：
cos∠MNR=

MN2+RN2-MR2

2MN×RN

=

( 6 2 )2+( 5 2 )2-( 17 2 )2

2× 6 2 × 5 2

=-

30

10

（11分）
∴異面直線A₁B與B₁C所成角的余弦值為

30

10

（12分）

點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，直線與平面垂直的判定，熟練掌握直三棱柱的幾何特征，結(jié)合已知中其它條件尋找判斷線面垂直的相關(guān)條件是解答本題的關(guān)鍵．