Question

18．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為${ρ^2}=\frac{36}{{4{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$，若P（x，y）是曲線C上的一個動點，則3x+4y的最大值為$\sqrt{145}$．

Answer 1

分析 由曲線C的極坐標(biāo)方程，求出曲線C的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，從而得到$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.，0≤α＜2π$，由此能求出3x+4y的最大值．

解答 解：∵曲線C的極坐標(biāo)方程為${ρ^2}=\frac{36}{{4{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$，
∴4ρ²+5ρ²sin²θ=36，
∴4x²+9y²=36，即$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
∵P（x，y）是曲線C上的一個動點，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.，0≤α＜2π$，
∴3x+4y=9cosα+8sinα=$\sqrt{145}$sin（α+γ），其中tanγ=$\frac{9}{8}$．
∴3x+4y的最大值為$\sqrt{145}$．

點評 本題考查代數(shù)式的最大值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的性質(zhì)及互化公式的合理運用．