Question

一次函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，已知f[f（x）]=16x+5
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）（x+1），求函數(shù)g（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：待定系數(shù)法,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)出一次函數(shù)f（x）的解析式，利用f[f（x）]=16x+5，求出f（x）的解析式；
（2）求出函數(shù)g（x）=f（x）（x+1），再求g（x）在區(qū)間[-1，1]上的最值即可．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=kx+b（k＞0），
∴f[f（x）]=k（kx+b）+b
=k²x+kb+b
=16x+5，
∴

k2=16 kb+b=5 k＞0

；
解得k=4，b=1；
∴f（x）=4x+1；
（2）∵函數(shù)g（x）=f（x）（x+1）
=（4x+1）（x+1）
=4x²+5x+1，
∴當x=-

5

2×4

=-

5

8

時，
g（x）取得最小值是g（x）_min=g（-

5

8

）=-

9

16

；
當x=1時，g（x）取得最大值是g（x）_max=g（1）=10；
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值是10，最小值是-

9

16

．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的應(yīng)用問題，也考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．