已知a∈R,函數(shù)f(x)=
ax
+lnx-1
,g(x)=(lnx-1)ex+x(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值;
(2)是否存在實數(shù)x0∈(0,e],使曲線y=g(x)在點x=x0處的切線與y軸垂直?若存在,求出x0的值;若不存在,請說明理由.
分析:(1)討論滿足f′(x)=0的點附近的導數(shù)的符號的變化情況,來確定極值,將f(x)的各極值與其端點的函數(shù)值比較,其中最小的一個就是最小值;
(2)將曲線y=g(x)在點x=x0處的切線與y軸垂直轉化成方程g'(x0)=0有實數(shù)解,只需研究導函數(shù)的最小值即可.
解答:解:(1)∵f(x)=
a
x
+lnx-1

f′(x)=-
a
x2
+
1
x
=
x-a
x2

令f'(x)=0,得x=a.
①若a≤0,則f'(x)>0,f(x)在區(qū)間(0,e]上單調(diào)遞增,此時函數(shù)f(x)無最小值.
②若0<a<e,當x∈(0,a)時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,a)上單調(diào)遞減,
當x∈(a,e]時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,e]上單調(diào)遞增,
所以當x=a時,函數(shù)f(x)取得最小值lna
③若a≥e,則f'(x)≤0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上單調(diào)遞減,
所以當x=e時,函數(shù)f(x)取得最小值
a
e

.綜上可知,當a≤0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上無最小值;
當0<a<e時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值為lna;
當a≥e時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值為
a
e

(2)∵g(x)=(lnx-1)ex+x,x∈(0,e],
∴g'(x)=(lnx-1)′ex+(lnx-1)(ex)′+1=
ex
x
+(lnx-1)ex+1=(
1
x
+lnx-1)ex+1

由(1)可知,當a=1時,f(x)=
1
x
+lnx-1

此時f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值為ln1=0,即
1
x
+lnx-1≥0
.(10分)
當x0∈(0,e],ex0>0,
1
x0
+lnx0-1≥0

g′(x0)=(
1
x0
+lnx0-1)ex0+1≥1>0

曲線y=g(x)在點x=x0處的切線與y軸垂直等價于方程g'(x0)=0有實數(shù)解.(13分)
而g'(x0)>0,即方程g'(x0)=0無實數(shù)解.、故不存在x0∈(0,e],使曲線y=g(x)在點x=x0處的切線與y軸垂直.
點評:本題主要考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,以及利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a∈R,函數(shù)f(x)=
1
12
x3+
a+1
2
x2+(4a+1)x

(Ⅰ)如果函數(shù)g(x)=f′(x)是偶函數(shù),求f(x)的極大值和極小值;
(Ⅱ)如果函數(shù)f(x)是(-∞,?+∞)上的單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a∈R,函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x2+ax+2.
(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)令a=-1,b∈R,已知函數(shù)g(x)=b+2bx-x2.若對任意x1∈(-1,+∞),總存在x2∈[-1,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,求實數(shù)b的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a∈R,函數(shù)f(x)=
a
x
+lnx-1,g(x)=(lnx-1)
e
x
 
+x
(其中e為自然對數(shù)的底).
(1)當a>0時,求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值;
(2)是否存在實數(shù)x0∈(0,e],使曲線y=g(x)在點x=x0處的切線與y軸垂直?若存在求出x0的值,若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•太原一模)已知a∈R,函數(shù) f(x)=x3+ax2+(a-3)x的導函數(shù)是偶函數(shù),則曲線y=f(x)在原點處的切線方程為
3x+y=0
3x+y=0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•浙江)已知a∈R,函數(shù)f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.
(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)當x∈[0,2]時,求|f(x)|的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案