Question

若直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長為4，則

2

a

+

3

b

的最小值是

5+2

6

．

Answer 1

分析：由已知條件得出直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）經(jīng)過圓心，從而得出關(guān)于a、b的關(guān)系式，再利用基本不等式的性質(zhì)即可求出．

解答：解：由圓x²+y²+2x-4y+1=0化為（x+1）²+（y-2）²=4，可知圓心C（-1，2），半徑r=2．
∵直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長為4，
∴此直線經(jīng)過圓心（-1，2）
∴-2a-2b+2=0，化為a+b=1．
∴

2

a

+

3

b

=(a+b)(

2

a

+

3

b

)=5+

2b

a

+

3a

b

≥5+2

2b a × 3a b

=5+2

6

，當(dāng)且僅當(dāng)a+b=1，

2b

a

=

3a

b

，即a=

6

-2，b=3-

6

時(shí)取等號．
∴

2

a

+

3

b

的最小值是5+2

6

．
故答案為5+2

6

．

點(diǎn)評：熟練掌握直線與圓相交問題的弦長問題和基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．