求證：cos(sinx)＞sin(cosx)

 

答案：
解析：

證法一：設(shè)y1=cos(sinx)，y2=sin(cosx)，其最小正周期為2π．在x∈[0，2π]討論．

　　而sin(cosx)=sin[cos(π＋y)]=sin[－cosy]=－sin(cosy)＜0，∴cos(sinx)＞sin(cosx)．

　　

　　∴沿用①的結(jié)論，cos(siny)＞sin(cosy)，又知y=2π－x，

　　∴cos(siny)=cos[sin(2π－x)]=cos(sinx)，sin(cosy)=sin[cos(2π－y)]=sin(cosx)，

　　∴cos(sinx)＞sin(cosx)．

　

以上證法比較冗長(zhǎng)，難免掛一漏萬(wàn), 請(qǐng)看下面證法：

證法二：

　　欲證：cos(sinx)＞sin(cosx)

　　只證：cos(cosx)＞sin(sinx)

　　[證]：cos(cosx)－sin(sinx)

　　

　　

　　

　　即cos(cosx)－sin(sinx)＞0，∴cos(cosx)＞sin(sinx)

　　

　　

<

　　       即cos(sinx)＞sin(cosx)．

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為α，求證：
cosα
sinα+sin3α
=
1+α2
4α
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求證：
1+sinα+cosα+2sinαcosα1+sinα+cosα
=sinα+cosα．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）化簡(jiǎn)：
sin(2π-α)sin(π+α)cos(-π-α)
sin(3π-α)cos(π-α)

（2）求證：
cosx
1-sinx
=
1+sinx
cosx
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|sinx|．
（1）若g（x）=ax-f（x）≥0對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為α，求證：
cosα
sinα+sin3α
=
1+α2
4α
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

本題包括（1）、（2）、（3）、（4）四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)答，
若多做，則按作答的前兩題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
（1）、選修4-1：幾何證明選講
如圖，∠PAQ是直角，圓O與AP相切于點(diǎn)T，與AQ相交于兩點(diǎn)B，C．求證：BT平分∠OBA
（2）選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）
若點(diǎn)A（2，2）在矩陣M=
cosα-sinα
sinαcosα
對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B（-2，2），求矩陣M的逆矩陣
（3）選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）
在極坐標(biāo)系中，A為曲線ρ2+2ρcosθ-3=0上的動(dòng)點(diǎn)，B為直線ρcosθ+ρsinθ-7=0上的動(dòng)點(diǎn)，求AB的最小值．
（4）選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
已知a1，a2…an都是正數(shù)，且a1•a2…an=1，求證：（2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n．

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