Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，過橢圓 右焦點(diǎn)的直線 交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，P為M，N的中點(diǎn)，且直線OP的斜率為 ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)另一直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線l的距離為 ，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意，直線 與x軸交點(diǎn)F（ ，0），則c= ， 設(shè)M（x1 ， y1）、N（x2 ， y2），P（xP ， yP），2xP=x1+x2 ， 2yP=y1+y2 ，
直線OP的斜率k= ，
則： ，
整理得： + =0，
則 =﹣ =﹣ ，
由直線MN的斜率k= =﹣ ×3=﹣1，整理得：a2=3b2=3（a2﹣c2），
又c= ，解得：a2=3，b2=1，
∴橢圓C的方程為： ；
（Ⅱ）由題意，①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，O到直線l的距離為 ，
將x=± 代入橢圓方程，解得：y=± ，則丨AB丨=2丨y丨= ；
當(dāng)直線斜率為O時(shí)，將y=± ，代入橢圓方程，解得：x=± ，
則丨AB丨=2丨x丨= ；
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)且不為0時(shí)，
設(shè)直線l的方程為：y=kx+m（k，m∈R且k≠0），
由題意，原點(diǎn)0到直線l的距離為 ，
故 ，則m2= （k2+1）．
設(shè)A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），
則： ，（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣1）=，
由題意△＞0，x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
丨AB丨2=（1+k2）[（x1+x2）﹣4x1x2]=（1+k2）[（﹣ ）2﹣4× ]，
=（1+k2） ，
= ，
= =3+ ，
=3+ ≤3+ =4，
當(dāng)且僅當(dāng)9k2= ，即k=± 時(shí)等號(hào)成立，丨AB丨max=2，
綜上所述，當(dāng)直線l的斜率k=± 時(shí)，
即丨AB丨max=2時(shí)，△AOB面積的最大值，
最大值為S= ×丨AB丨max× = ，
△AOB面積的最大值 ．
【解析】（Ⅰ）當(dāng)y=0時(shí)，求得焦點(diǎn)F坐標(biāo)，M，N代入橢圓方程，作差，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，化簡(jiǎn)求得MN的直線方程，即可求得a和b的關(guān)系，求得橢圓方程；（Ⅱ）由題意可知：當(dāng)丨AB丨最大時(shí)，△AOB面積的最大值，將直線AB代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理弦長(zhǎng)公式及基本不等式的性質(zhì)，即可求得丨AB丨的最大值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能正確解答此題．