Question

2．如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，側(cè)面AA′C′C為正方形，AA′=5，BC=4，A′B′=3，E、F分別是A′C′、BC的中點(diǎn)．
（1）證明：C′F∥面ABE；
（2）證明：面ABE⊥面BB′C′C．

Answer 1

分析 （1）作AB中點(diǎn)D，連結(jié)DE、DF，推導(dǎo)出四邊形EDFC′是平行四邊形，由此能證明FC′∥面ABE．
（2）推導(dǎo)出BB′⊥AB，AB⊥BC，由此能證明面ABE⊥面BB′C′C．

解答 證明：（1）作AB中點(diǎn)D，連結(jié)DE、DF
∵D、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴DF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，
∵E為A′B′中點(diǎn)，∴EC′$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，∴EC′$\underset{∥}{=}$DF，
∴四邊形EDFC′是平行四邊形，
∴DE∥FC′，又∵DE?平面ABE，F(xiàn)C′?面ABE，
∴FC′∥面ABE．
（2）∵直三棱柱ABC-A′B′C′中，BB′⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴BB′⊥AB，
∵側(cè)面AA′C′C為正方形，且AA′=5，∴AC=5，
又∵AB=A′B′=3，BC=4，∴AC²=AB²+BC²，
即AB⊥BC，又∵BB′⊥AB，BB′∩BC=B，BB′、BC?面BB′C′C，
∴AB⊥面BB′C′C，又∵AB?面ABE，
∴面ABE⊥面BB′C′C．

點(diǎn)評 本題考查線面平行、面面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．