Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=$\frac{3}{2}$a_n-1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=2log₃$\frac{{a}_{n}}{2}$+1，求$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{b{{\;}_{n-1}b}_{n}}$．

Answer 1

分析 （1）由S_n=$\frac{3}{2}$a_n-1（n∈N^*），可得當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}=\frac{3}{2}{a}_{1}$-1，解得a₁．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）b_n=2log₃$\frac{{a}_{n}}{2}$+1=2n-1，可得$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{3}{2}$a_n-1（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}=\frac{3}{2}{a}_{1}$-1，解得a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}{a}_{n}$-1-$（\frac{3}{2}{a}_{n-1}-1）$，化為a_n=3a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為3．
∴a_n=2×3^n-1．
（2）b_n=2log₃$\frac{{a}_{n}}{2}$+1=2n-1，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{b{{\;}_{n-1}b}_{n}}$=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n-1}）$
=$\frac{n-1}{2n-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．