Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-

1

2

ax²-2x
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求證：f（x）＞0恒成立；
（2）記y=f（x）為函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)，y=f″（x）為函數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于連續(xù)函數(shù)y=f（x），我們定義：若f″（x₀）=0且在x₀兩側(cè)f″（x）異號(hào)，則點(diǎn)（x₀，f（x₀））為曲線y=f（x）的拐點(diǎn)，是否存在正實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）=e^x-

1

2

ax²-2x在其拐點(diǎn)處切線的傾斜角a為

5π

6

，若存在求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，即可證明，
（2）根據(jù)定義求出二次導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，即可求出a的值．

解答： 解：（1）∵a=0，f（x）=e^x-2x，
∴f′（x）=e^x-2，
令f′（x）=0，解得x=ln2，
當(dāng)f′（x）＞0，解得x＞ln2，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0，解得0＜x＜ln2，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x=ln2時(shí)，函數(shù)有最小值，
f（x）＞f（ln2）=e^ln2-2ln2=lne²-ln4=ln

e2

4

＞0，
∴f（x）＞0恒成立；
（2）∵f（x）=e^x-

1

2

ax²-2x，
∴f′（x）=e^x-ax-2，
∴f″（x）=e^x-a，
令f″（x₀）=e^x₀-a，解得x₀=lna，a＞0，
∵拐點(diǎn)處切線的傾斜角a為

5π

6

，
∴k=tan

5π

6

=-

3

3

，
∴l(xiāng)na=-

3

3

，
解得a=e-

3

3

＞0，
∴存在正實(shí)數(shù)a═e-

3

3

，使得函數(shù)f（x）=e^x-

1

2

ax²-2x在其拐點(diǎn)處切線的傾斜角a為

5π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題