Question

已知函數(shù)f（x）=x-alnx，．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一點x，使得f（x）＜g（x）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出其導函數(shù)，讓其大于0求出增區(qū)間，小于0求出減區(qū)間即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進而求出函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）先求出函數(shù)h（x）的導函數(shù)，分情況討論讓其大于0求出增區(qū)間，小于0求出減區(qū)間即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）先把f（x）＜g（x）成立轉(zhuǎn)化為h（x）＜0，即函數(shù)在[1，e]上的最小值小于零；再結(jié)合（Ⅱ）的結(jié)論分情況討論求出其最小值即可求出a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），（1分）
當a=1時，f（x）=x-lnx，，（2分）

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-		+
f（x）		極小

（3分）
所以f（x）在x=1處取得極小值1．（4分）
（Ⅱ），
（6分）
①當a+1＞0時，即a＞-1時，在（0，1+a）上h'（x）＜0，在（1+a，+∞）上h'（x）＞0，
所以h（x）在（0，1+a）上單調(diào)遞減，在（1+a，+∞）上單調(diào)遞增；（7分）
②當1+a≤0，即a≤-1時，在（0，+∞）上h'（x）＞0，
所以，函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（8分）
（ III）在[1，e]上存在一點x，使得f（x）＜g（x）成立，即
在[1，e]上存在一點x，使得h（x）＜0，
即函數(shù)在[1，e]上的最小值小于零．（9分）
由（Ⅱ）可知
①即1+a≥e，即a≥e-1時，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
所以h（x）的最小值為h（e），
由可得，
因為，
所以；（10分）
②當1+a≤1，即a≤0時，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
所以h（x）最小值為h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜-2；（11分）
③當1＜1+a＜e，即0＜a＜e-1時，可得h（x）最小值為h（1+a），
因為0＜ln（1+a）＜1，
所以，0＜aln（1+a）＜a
故h（1+a）=2+a-aln（1+a）＞2
此時，h（1+a）＜0不成立．（12分）
綜上討論可得所求a的范圍是：或a＜-2．（13分）
點評：本題第一問考查利用導函數(shù)來研究函數(shù)的極值．在利用導函數(shù)來研究函數(shù)的極值時，分三步①求導函數(shù)，②求導函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號，若左正右負，原函數(shù)取極大值；若左負右正，原函數(shù)取極小值．