已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點F2與拋物線y2=4x的焦點重合,過F2作與x軸垂直的直線交橢圓于S,T兩點,交拋物線于C,D兩點,且
|CD|
|ST|
=2
2

(I)求橢圓E的標準方程;
(Ⅱ)設(shè)Q(2,0),過點(-1,0)的直線l交橢圓E于M、N兩點.
(i)當
QM
QN
=
19
3
時,求直線l的方程;
(ii)記△QMN的面積為S,若對滿足條件的任意直線l,不等式S>λtan∠MQN恒成立,求λ的最小值.
分析:(Ⅰ)由拋物線方程,得焦點坐標,從而設(shè)出橢圓E的方程,求出|CD|,|ST|,利用條件,即可求得橢圓E的方程;
(Ⅱ)(i)分類討論,設(shè)出直線方程,代入橢圓方程,利用向量的數(shù)量積公式及韋達定理,結(jié)合條件,即可求直線l的方程;
(ii)求出
QM
QN
的最大值是
17
2
,根據(jù)S≤λtan∠MQN恒成立,利用數(shù)量積公式,即可求λ的最小值.
解答:解:(Ⅰ)由拋物線方程,得焦點F2(1,0),∴c=1.
∴橢圓E的方程為
x2
b2+1
+
y2
b2
=1

直線x=1代入拋物線方程,可得C(1,2),D(1,-2),∴|CD|=4
直線x=1代入橢圓方程,可得|ST|=
2b2
a

|CD|
|ST|
=2
2
,∴
2a
b2
=2
2

∵a2-b2=1
a=
2
,b=1

∴橢圓E的方程為
x2
2
+y2=1
;
(Ⅱ)(i)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則
QM
=(x1-2,y1),
QN
(x2-2,y2),
當直線l垂直于x軸時,x1=x2=-1,y1=-y2y12=
1
2

QM
QN
=(x1-2)(x2-2)+y1y2=9-y12=
17
2
19
3
,不合題意;
直線l的斜率存在時,設(shè)方程為y=k(x+1),代入橢圓方程,可得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0
∴x1+x2=-
4k2
1+2k2
,x1x2=
2k2-2
1+2k2

∵y1=k(x1+1),y2=k(x2+1)
QM
QN
=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(x1-2)(x2-2)+k(x1+1)•k(x2+1)
=(k2+1)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+k2+4
=
17
2
-
13
2(1+2k2)
=
19
3

∴k2=1,∴k=±1
∴直線l的方程為x-y+1=0或x+y+1=0;
(ii)由(i)知,
QM
QN
=
17
2
-
13
2(1+2k2)
17
2

QM
QN
的最大值是
17
2

∵S≤λtan∠MQN恒成立,
1
2
|
OM
||
ON
|sin∠MQN
≤λ
sin∠MQN
cos∠MQN
恒成立
QM
QN
=
17
2
-
13
2(1+2k2)
>0
∴cos∠MQN>0
|
OM
||
ON
|cos∠MQN≤2λ
恒成立
QM
QN
≤2λ恒成立
2λ≥
17
2
,即λ≥
17
4

∴λ的最小值
17
4
點評:本題考查橢圓方程,考查直線與橢圓、拋物線方程的位置關(guān)系,考查向量的數(shù)量積公式,考查恒成立問題,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),焦點為F1、F2,雙曲線G:x2-y2=m(m>0)的頂點是該橢圓的焦點,設(shè)P是雙曲線G上異于頂點的任一點,直線PF1、PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D,已知三角形ABF2的周長等于8
2
,橢圓四個頂點組成的菱形的面積為8
2

(1)求橢圓E與雙曲線G的方程;
(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2,探求k1和k2的關(guān)系;
(3)是否存在常數(shù)λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立?若存在,試求出λ的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),以F1(-c,0)為圓心,以a-c為半徑作圓F1,過點B2(0,b)作圓F1的兩條切線,設(shè)切點為M、N.
(1)若過兩個切點M、N的直線恰好經(jīng)過點B1(0,-b)時,求此橢圓的離心率;
(2)若直線MN的斜率為-1,且原點到直線MN的距離為4(
2
-1),求此時的橢圓方程;
(3)是否存在橢圓E,使得直線MN的斜率k在區(qū)間(-
2
2
,-
3
3
)內(nèi)取值?若存在,求出橢圓E的離心率e的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
3
=1
(a
3
)的離心率e=
1
2
.直線x=t(t>0)與曲線 E交于不同的兩點M,N,以線段MN 為直徑作圓 C,圓心為 C.
 (1)求橢圓E的方程;
 (2)若圓C與y軸相交于不同的兩點A,B,求△ABC的面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•佛山二模)已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一個交點為F1(-
3
,0)
,而且過點H(
3
1
2
)

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓E的上下頂點分別為A1,A2,P是橢圓上異于A1,A2的任一點,直線PA1,PA2分別交x軸于點N,M,若直線OT與過點M,N的圓G相切,切點為T.證明:線段OT的長為定值,并求出該定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓E:
x2
a2
+y2=1
(a>1)的離心率e=
3
2
,直線x=2t(t>0)與橢圓E交于不同的兩點M、N,以線段MN為直徑作圓C,圓心為C
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)當圓C與y軸相切的時候,求t的值;
(Ⅲ)若O為坐標原點,求△OMN面積的最大值.

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同步練習(xí)冊答案