Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點F₂與拋物線y²=4x的焦點重合，過F₂作與x軸垂直的直線交橢圓于S，T兩點，交拋物線于C，D兩點，且

|CD|

|ST|

=2

2

．
（I）求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（2，0），過點（-1，0）的直線l交橢圓E于M、N兩點．
（i）當

QM

•

QN

=

19

3

時，求直線l的方程；
（ii）記△QMN的面積為S，若對滿足條件的任意直線l，不等式S＞λtan∠MQN恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由拋物線方程，得焦點坐標，從而設(shè)出橢圓E的方程，求出|CD|，|ST|，利用條件，即可求得橢圓E的方程；
（Ⅱ）（i）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用向量的數(shù)量積公式及韋達定理，結(jié)合條件，即可求直線l的方程；
（ii）求出

QM

•

QN

的最大值是

17

2

，根據(jù)S≤λtan∠MQN恒成立，利用數(shù)量積公式，即可求λ的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由拋物線方程，得焦點F₂（1，0），∴c=1．
∴橢圓E的方程為

x2

b2+1

+

y2

b2

=1
直線x=1代入拋物線方程，可得C（1，2），D（1，-2），∴|CD|=4
直線x=1代入橢圓方程，可得|ST|=

2b2

a

∵

|CD|

|ST|

=2

2

，∴

2a

b2

=2

2

∵a²-b²=1
∴a=

2

，b=1
∴橢圓E的方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）（i）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則

QM

=（x₁-2，y₁），

QN

（x₂-2，y₂），
當直線l垂直于x軸時，x₁=x₂=-1，y₁=-y₂，y12=

1

2

∴

QM

•

QN

=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=9-y12=

17

2

≠

19

3

，不合題意；
直線l的斜率存在時，設(shè)方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂=-

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

∵y₁=k（x₁+1），y₂=k（x₂+1）
∴

QM

•

QN

=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=（x₁-2）（x₂-2）+k（x₁+1）•k（x₂+1）
=(k2+1)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+k2+4
=

17

2

-

13

2(1+2k2)

=

19

3

∴k²=1，∴k=±1
∴直線l的方程為x-y+1=0或x+y+1=0；
（ii）由（i）知，

QM

•

QN

=

17

2

-

13

2(1+2k2)

＜

17

2

∴

QM

•

QN

的最大值是

17

2

∵S≤λtan∠MQN恒成立，
∴

1

2

|

OM

||

ON

|sin∠MQN≤λ

sin∠MQN

cos∠MQN

恒成立
∵

QM

•

QN

=

17

2

-

13

2(1+2k2)

＞0
∴cos∠MQN＞0
∴|

OM

||

ON

|cos∠MQN≤2λ恒成立
∴

QM

•

QN

≤2λ恒成立
∴2λ≥

17

2

，即λ≥

17

4

∴λ的最小值

17

4

．

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓、拋物線方程的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積公式，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于難題．