已知橢圓的兩焦點在軸上, 且兩焦點與短軸的一個頂點的連線構成斜邊長為2的等腰直角三角形
（1）求橢圓的方程；
（2）過點的動直線交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點Q，使得以AB為直徑的圓恒過點Q?若存在求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由
（1）橢圓方程為；（2）存在定點，使以AB為直徑的圓恒過點 

試題分析：（1）由橢圓兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形,等腰直角三角形斜邊長為2，即，故，由此可得橢圓方程 （2）首先考慮與坐標軸平行的特殊情況，當與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程為；當與y軸平行時,以AB為直徑的圓的方程為，解方程組求出這兩個圓的交點：
若存在定點Q,則Q的坐標只可能為 
接下來就一般情況證明為所求 設直線，則，將與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理得：，代入上式證明其等于0即可
試題解析：（1）由橢圓兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形,
又斜邊長為2,即故,
橢圓方程為                                  （4分）
（2）當與x軸平行時,以AB為直徑的圓的方程為;
當與y軸平行時,以AB為直徑的圓的方程為
,故若存在定點Q,則Q的坐標只可能為    （6分）
下證明為所求:
若直線斜率不存在,上述已經證明 設直線,
,
,                           （8分）

       （10分）

,即以AB為直徑的圓恒過點                  （13分）
注: 此題直接設,得到關于的恒成立問題也可求解
練習冊系列答案
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知橢圓的兩焦點、，離心率為，直線：與橢圓交于兩點，點在軸上的射影為點．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）求直線的方程，使的面積最大，并求出這個最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知A,B分別是橢圓C1:+=1的左、右頂點,P是橢圓上異于A,B的任意一點,Q是雙曲線C2:-=1上異于A,B的任意一點,a>b>0.
(1)若P（,）,Q（,1）,求橢圓C1的方程;
(2)記直線AP,BP,AQ,BQ的斜率分別是k1,k2,k3,k4,求證:k1·k2+k3·k4為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

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(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若θ＝90°，，求實數(shù)m；
(3)試問的值是否與θ的大小無關，并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若兩曲線在交點P處的切線互相垂直，則稱該兩曲線在點P處正交，設橢圓與雙曲線在交點處正交，則橢圓的離心率為（  ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a>b>0)經過點M(－2，－1)，離心率為.過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q.
(1)求橢圓C的方程；
(2)試判斷直線PQ的斜率是否為定值，證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＝1(a>b>0)的左焦點為F，右頂點為A，動點M為右準線上一點(異于右準線與x軸的交點)，設線段FM交橢圓C于點P，已知橢圓C的離心率為，點M的橫坐標為.

(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設直線PA的斜率為k1，直線MA的斜率為k2，求k1·k2的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設F1、F2分別是橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，若在直線x＝上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓的離心率的取值范圍是________．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

橢圓＝1的兩焦點為F1、F2，一直線過F1交橢圓于P、Q，則△PQF2的周長為________．

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