Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SA⊥面ABCD，點E是SC的中點，SA=4，AB=2．
（理）（1）求直線ED與直線SB所成的角；
（2）求點A到平面SBD的距離．
（文）（1）求直線SC與平面SAD所成的角；
（2）求直線ED與直線SB所成的角．

Answer 1

（理）解：（1）取BC的中點為F，連接EF、DF，
因為點E是SC的中點，
所以EF∥SB，所以“直線ED與直線SB所成的角”與“直線ED與直線EF所成的角”相等或者互補，即∠FED為所求．
因為SA⊥面ABCD，SA=4，AB=2，

所以SB=2，所以EF=．
又因為ABCD是正方形，并且AB=2，
所以DF=．
因為四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SA⊥面ABCD，
所以CD⊥平面SAD，所以CD⊥SD，所以ED=，
因為ABCD是正方形，并且AB=2，SA=4，
所以SC=2，所以ED=．
在△EFD中，由余弦定理可得：cos∠FED=，
所以直線ED與直線SB所成的角為arccos．
（2）設(shè)點A到平面SBD的距離為h，
因為SA⊥面ABCD，SA=4，AB=2，
所以SB=SD=2，
因為ABCD是正方形，并且AB=2，
所以BD=2，所以S_△SBD=6，S_△ABD=2，
因為V_A-BDS=V_S-ABD，
所以，解得：h=，
所以點A到平面SBD的距離為．
（文）解：（1）因為四棱錐S-ABCD的底面是正方形，
所以CD⊥AD，
又因為SA⊥面ABCD，即AD⊥SA，
因為AD∩SA=A，
所以CD⊥平面SAD，
所以∠CSD為所求．
因為四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SA⊥面ABCD，SA=4，AB=2．
所以CD=2，SD=2，
所以tan∠CSD=，
所以直線SC與平面SAD所成的角為arctan．
（2）取BC的中點為F，連接EF、DF，
因為點E是SC的中點，
所以EF∥SB，所以“直線ED與直線SB所成的角”與“直線ED與直線EF所成的角”相等或者互補，即∠FED為所求．
因為SA⊥面ABCD，SA=4，AB=2，
所以SB=2，所以EF=．

又因為ABCD是正方形，并且AB=2，
所以DF=．
因為四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SA⊥面ABCD，
所以CD⊥平面SAD，所以CD⊥SD，所以ED=，
因為ABCD是正方形，并且AB=2，SA=4，
所以SC=2，所以ED=．
在△EFD中，由余弦定理可得：cos∠FED=，
所以直線ED與直線SB所成的角為arccos．
分析：（理）（1）取BC的中點為F，連接EF、DF，可得EF∥SB，即可得到∠FED為所求，再利用解三角形的有關(guān)知識求出答案即可．
（2）設(shè)點A到平面SBD的距離為h，根據(jù)題中的條件可得S_△SBD=6，S_△ABD=2，再根據(jù)V_A-BDS=V_S-ABD，可得點A到平面SBD的距離．
（文）（1）由題意可得：CD⊥AD，又因為SA⊥面ABCD，所以AD⊥SA，所以CD⊥平面SAD，所以∠CSD為所求，再利用解三角形的有關(guān)知識求出答案．
（2）取BC的中點為F，連接EF、DF，可得EF∥SB，即可得到∠FED為所求，再利用解三角形的有關(guān)知識求出答案即可．
點評：本題主要考查線線角與線面角，而空間角解決的關(guān)鍵是做角，由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角來，是求角的關(guān)鍵；而求點到平面的距離，一般運用等體積法進行求解．也可以根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標系利用向量的有關(guān)知識解決空間角、空間距離以及判斷空間中的點線面的位置等問題．