Question

已知函數(shù)，a∈R是常數(shù)．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）求時(shí)，f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
③求證：（n∈N^*，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

解：（1），
若a≥0，則f′（x）＞0，f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；若a≤-1，
則f′（x）＜0，f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；若-1＜a＜0，由f′（x）=0
解得，，，
直接討論f′（x）知，f（x）在
和單調(diào)遞減，
在單調(diào)遞增．
（2）觀察得f（0）=0，時(shí)，
由①得f（x）在單調(diào)遞減，
所以f（x）在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
，
計(jì)算得，
f（x₁）f（x₂）＜0且f（x）在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以f（x）在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)單調(diào)性比較知，
存在充分大的M∈R，使f（M）＜0，f（x₂）f（M）＜0
且f（x）在區(qū)單調(diào)遞減，
所以f（x）在上
從而在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，時(shí)，f（x）有3個(gè)零點(diǎn)．
（3）取a=-1，，
由①得f（x）單調(diào)遞減，
所以?x＞0，f（x）＜f（0）=0，，
從而ln（1+）（1+）…（1+）
=ln（1+）ln（1+）+…（1+）
＜++…，
由lnx單調(diào)遞增得．
分析：（1）討論含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，先求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），令f′（x）＞0，本小題要對(duì)參數(shù)a分a≥0，-1＜a＜0，a≤-1三種情形進(jìn)行討論，對(duì)運(yùn)算能力要求較高；
（2），由（1）的結(jié)論-1＜a=＜0，所以分三個(gè)單調(diào)區(qū)間來(lái)利用單調(diào)性來(lái)討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題．
（3）是近年來(lái)高考考查的熱點(diǎn)問題，即與函數(shù)結(jié)合證明不等式問題，常用的解題思路是利用前面的結(jié)論構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于函數(shù)取單調(diào)區(qū)間上的正整數(shù)自變量n有某些結(jié)論成立，進(jìn)而解答出這類不等式問題的解．
點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)握{(diào)性刻畫函數(shù)兩個(gè)變量變化趨勢(shì)的一致性，是認(rèn)識(shí)函數(shù)的重要角度，運(yùn)用單調(diào)性可以確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，考查導(dǎo)數(shù)使單調(diào)性可以定量、精確研究這一重要工具．參數(shù)是可變的常數(shù)，處理參數(shù)是比較高端的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，本題考查了這一素養(yǎng)，因此對(duì)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力要求較高．