4．在棱錐P-ABC中，側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直，Q為底面△ABC內(nèi)一點，若點Q到三個側(cè)面的距離分別為3、4、5，則以線段PQ為直徑的球的體積為（　�。�
A．$\frac{125π}{6}$B．$\frac{{125\sqrt{2}π}}{3}$C．$\frac{50π}{3}$D．$\frac{25π}{3}$

分析 根據(jù)題意，點Q到三個側(cè)面的垂線與側(cè)棱PA、PB、PC圍成一個棱長為3、4、5的長方體，分析可知以PQ為直徑的球是它的外接球，再由長方體和其外接球的關(guān)系求解．

解答 解：根據(jù)題意：點Q到三個側(cè)面的垂線與側(cè)棱PA、PB、PC圍成一個棱長為3、4、5的長方體，
則其外接球的直徑即為PQ且為長方體的體對角線．
∴2r=$\sqrt{9+16+25}$=5$\sqrt{2}$，
∴r=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
由球的體積公式得：S=$\frac{4}{3}$πr3=$\frac{125\sqrt{2}}{3}$π．
故選B．

點評 本題主要考查空間幾何體的構(gòu)造和組合體的基本關(guān)系，確定外接球的直徑即為PQ且為長方體的體對角線是關(guān)鍵．

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