Question

11．如圖，AD⊥平面ABC，CE∥AD，且AB=AC=CE=2AD．
（1）試在線段BE上確定一點M，使得DM∥平面ABC；
（2）若AB⊥AC，求平面BDE與平面ABC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）M為線段BE中點時，DM∥平面ABC
理由如下：取BC中點，連接MN．AN，在△BCE中，易得MN為中位線，
可得四邊形ADMN是平行四邊形，得DM∥AN，可得DM∥面ABC．
（2）如圖以點A為坐標原點，以AB，AC，AD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
設AB=2．B（2，0，0），D（0，0，1），E（0，2，2），得$\overrightarrow{DB}=（2，0，-1）$，$\overrightarrow{DE}=（0，2，1）$，利用向量法求解

解答 解：（1）M為線段BE中點時，DM∥平面ABC
理由如下：取BC中點，連接MN．AN，在△BCE中，易得MN為中位線，
∴$MN∥CE，MN=\frac{1}{2}CE$，又AD∥CE，AD=$\frac{1}{2}CE$
∴MN∥AD，NM=AD，則四邊形ADMN是平行四邊形，得DM∥AN，
又AN?面ABC，DM?面ABC，∴DM∥面ABC．
（2）如圖以點A為坐標原點，以AB，AC，AD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
設AB=2．B（2，0，0），D（0，0，1），E（0，2，2），得$\overrightarrow{DB}=（2，0，-1）$，$\overrightarrow{DE}=（0，2，1）$
設平面BDE的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=2x-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=2y+z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}=（1，-1，2）$
易得平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}=（0，0，1）$，
則cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∴平面BDE與平面ABC所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$

點評 本題考查了線面平行的判定，向量法求二面角，屬于中檔題．