Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短半軸長為1，點M（2，t）（t＞0）是右準線x=

a2

c

上的動點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設F為橢圓的右焦點，過F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，求ON的長．
（Ⅲ）求以OM為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已和條件推導出b=1，

a2

c

=2，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（1，0），依題意FN⊥OM，MN⊥ON，設N（x₀，y₀），由FN⊥OM，得2x₀+ty₀=2，由MN⊥ON，x02+y02=2x0+ty0=2，由此能求出|ON|．
（Ⅲ）以OM為直徑的圓的圓心為（1，

t

2

），半徑為r=

1+ t2 4

，由已知條件推導出

t2

4

+1=

4(t+1)2

25

+1，由此能求出圓的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短半軸長為1，
∴b=1，
∵點M（2，t）（t＞0）是右準線x=

a2

c

上的動點，
∴

a2

c

=2，
∴

b2+c2

c

=

1+c2

c

=2，解得c=1，a²=2，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（1，0），
依題意FN⊥OM，MN⊥ON，
設N（x₀，y₀），則

FN

=(x0-1，y0)，

OM

=(2，t)，

MN

=(x0-2，y0-t)，

ON

=(x0，y0)，
則

FN

=(x0-1，y0)，

OM

=(2，t)，

MN

=(x0-2，y0-t)，

ON

=(x0，y0)，
由FN⊥OM，得2（x₀-1）+ty₀=0，
∴2x₀+ty₀=2，
由MN⊥ON，得x₀（x₀-2）+y₀（y₀-t）=0，
∴x02+y02=2x0+ty0=2，
∴|ON|=

x02+y02

=

2

．
（Ⅲ）以OM為直徑的圓的圓心為（1，

t

2

），半徑為r=

1+ t2 4

，
圓心（1，

t

2

）到直線3x-4y-5=0的距離為d=

|2t+2|

5

，
又圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2，
∴r²=d²+1，∴

t2

4

+1=

4(t+1)2

25

+1，解得t=4，
∴圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=5．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查線段長的求法，考查圓的方程的求法，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．