Question

設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為12，則ab的取值范圍是（　�。�

• A．（0，+∞）
• B．(0，

  3

  2

  )
• C．[

  3

  2

  ，+∞)
• D．(0，

  3

  2

  ]

Answer 1

分析：先根據(jù)條件畫出可行域，設(shè)z=ax+by，再利用幾何意義求最值，將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距，只需求出直線z=ax+by，過可行域內(nèi)的點(diǎn)（4，6）時取得最大值，從而得到一個關(guān)于a，b的等式，最后利用基本不等式求ab的取值范圍即可．

解答：解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，
當(dāng)直線ax+by=z（a＞0，b＞0）過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(diǎn)（4，6）時，
目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，
即4a+6b=12，即2a+3b=6，
而6=2a+3b≥2

6ab

⇒ab≤

3

2

，當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b時取等號．
又ab＞0，
則ab的取值范圍是(0，

3

2

]．
故選D．

點(diǎn)評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用、簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．