Question

已知函數(shù)，

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若方程有且只有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）當(dāng)且，時(shí)，若有，求證：.

 

Answer 1

【答案】

（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為和；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）對(duì)求導(dǎo)可得，令，或，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系可知，所以遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；

（2）若方程有解有解，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求f（x）的值域，而m只要在f（x）的值域內(nèi)即可，由（1）知，， 方程有且只有一個(gè)根，又的值域?yàn)?/span>，;

（3）由（1）和（2）及當(dāng)，時(shí)，有，不妨設(shè)，

則有，，又，

即，同理，又，，且在上單調(diào)遞減，

，即.

試題解析：（1），令，即，解得，

令，即，解得，或，

的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為和. 4分

（2）由（1）知，， 6分

方程有且只有一個(gè)根，又的值域?yàn)?/span>，由圖象知

8分

（3）由（1）和（2）及當(dāng)，時(shí)，有，不妨設(shè)，

則有，，又，

即， 11分

，又，，且在上單調(diào)遞減，

，即. 13分

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性上的應(yīng)用；2. 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值.