Question

17．設(shè)命題$p：?n∈{N^*}，{（{-1}）^n}•（{2a+1}）＜2+\frac{{{{（{-1}）}^{n+1}}}}{n}$，命題q：當(dāng)$|{x-\frac{5}{2}}|＜a（{a＞0}）$時(shí)，不等式|x²-5|＜4恒成立．
（1）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，分別判斷命題p和q的真假；
（2）如果p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，?n∈N⁺，（-1）ⁿ•2＜2+$\frac{（-1）^{n+1}}{n}$，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，2＜2-$\frac{1}{n}$不成立．
當(dāng)$|{x-\frac{5}{2}}|＜a（{a＞0}）$時(shí)，⇒2＜x＜3⇒-1＜x²-5＜4⇒不等式|x²-5|＜4成立．
（2）命題p為真命題時(shí)：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，2a+1＜2-$\frac{1}{n}$恒成立⇒2a+1＜（2-$\frac{1}{n}$）_min，⇒a＜$\frac{1}{4}$，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，-（2a+1）＜2+$\frac{1}{n}$恒成立⇒-（2a+1）＜（2+$\frac{1}{n}$）_min，⇒-（2a+1）≤2⇒a≥-$\frac{3}{2}$．
命題q為真命題時(shí)：$|{x-\frac{5}{2}}|＜a（{a＞0}）$的解集為（$\frac{5}{2}-a，\frac{5}{2}+a$），不等式|x²-5|＜4的解集為：（-3，-1）∪（1，3）
由（$\frac{5}{2}-a，\frac{5}{2}+a$）⊆3，-1）∪（1，3）⇒0＜a≤$\frac{1}{2}$，
如果p∧q為假命題，p∨q為真命題，則p、q為一真一假，列式計(jì)算；

解答 解：（1）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，命題$p：?n∈{N^*}，{（{-1}）^n}•（{2a+1}）＜2+\frac{{{{（{-1}）}^{n+1}}}}{n}$??n∈N⁺，（-1）ⁿ•2＜2+$\frac{（-1）^{n+1}}{n}$，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，2＜2-$\frac{1}{n}$不成立，故命題p為假命題．
當(dāng)$|{x-\frac{5}{2}}|＜a（{a＞0}）$時(shí)，⇒2＜x＜3⇒-1＜x²-5＜4⇒不等式|x²-5|＜4成立，故命題q為真命題．
（2）命題p為真命題時(shí)：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，2a+1＜2-$\frac{1}{n}$恒成立⇒2a+1＜（2-$\frac{1}{n}$）_min，⇒a＜$\frac{1}{4}$，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，-（2a+1）＜2+$\frac{1}{n}$恒成立⇒-（2a+1）＜（2+$\frac{1}{n}$）_min，⇒-（2a+1）≤2⇒a≥-$\frac{3}{2}$．
故命題p為真命題時(shí)：-$\frac{3}{2}$≤a＜$\frac{1}{4}$．
命題q為真命題時(shí)：$|{x-\frac{5}{2}}|＜a（{a＞0}）$的解集為（$\frac{5}{2}-a，\frac{5}{2}+a$），不等式|x²-5|＜4的解集為：（-3，-1）∪（1，3）
由（$\frac{5}{2}-a，\frac{5}{2}+a$）⊆3，-1）∪（1，3）⇒0＜a≤$\frac{1}{2}$，
故命題q為真命題時(shí)：0＜a≤$\frac{1}{2}$，
如果p∧q為假命題，p∨q為真命題，則p、q為一真一假；
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}≤a＜\frac{1}{4}}\\{a≤0或a＞1}\end{array}\right.得-\frac{3}{2}≤a≤0$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜-\frac{3}{2}或a≥\frac{1}{4}}\\{0＜a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.得\frac{1}{4}≤a≤\frac{1}{2}$
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍：[-$\frac{3}{2}，0$]∪[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查了命題真假的應(yīng)用，涉及到了不等式、恒成立的運(yùn)算，屬于中檔題．