Question

已知-1≤

ax+b

x2+1

≤4，求a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用,其他不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)y=

ax+b

x2+1

，通過(guò)去分母整理得yx²-2ax+y-b=0，將y看作是系數(shù)，此方程一定有解，故判別式△≥0，由此得到關(guān)于y的不等式，數(shù)y=

ax+b

x2+1

的最大值為4，最小值為-1，故y²-by-a²=0的兩根為-1和4．再用根系關(guān)系建立起常數(shù)a，b的方程，求值．

解答： 解：由y=

ax+b

x2+1

去分母整理得
yx²-2ax+y-b=0．①
對(duì)于①，有實(shí)根的條件是△≥0，
即（-2a）²-4y（y-b）≥0．
∴y²-by-a²≤0．又-1≤y≤4，
∴y²-by-a²=0的兩根為-1和4．
∴

-1+4=b -1×4=-a2

解得

a=2 b=3

或

a=2 b=-3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的求解，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)，求解函數(shù)的值域，考查了判別式法求值域的變形運(yùn)用，得到了關(guān)于函數(shù)值y的不等式，再由根系關(guān)系建立關(guān)于所求參數(shù)的方程求參數(shù)，此方法是解決分式型二次函數(shù)值域求法的便捷方法，注意研究其特征及做題過(guò)程．